Sucesiones



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Universidad de Talca

Magíster en Educación de las Ciencias M/Matemática

Curso: Matemáticas Discretas - Módulo: Sucesiones



Sucesiones


U, D, T, C, ...



?


Ejemplos de sucesiones



  1. ¿Qué es una sucesión?

Informal: es una secuencia infinita de “algo” que sigue una cierta regla o patrón.

Formal: Una sucesión en un conjunto B, digamos a, es una función con dominio IN y codominio el conjunto B.



a: IN  B

  1. Conceptos y notaciones básicas

Si a es una sucesión en un conjunto B.

  • a(1)=a1, a(2)=a2, etc

  • En general la imagen de n, a(n), se anota, an

  • … y todo lo relacionado con funciones.



  1. Formas de presentar (o definir) una sucesión.

  • Fórmula del término general.

Considerar la sucesión an=n2, bn=1/n

  • Por recurrencia.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … sucesión de Fibonacci

a1=1, a2=1, y para n>=3: an=an-1+an-2 (o bien an+2=an+1+an para n>=1)



b1=4, y para n>=2: bn=2+3*bn-1



    1. x1=1, xn+1=(1/2)(xn+a/xn), para n>=1. Donde a es um número positivo.

    2. x1=2, xn+1=sqrt(2+xn) , para n>=1.

    3. Sea x0 un número entero positivo cualquiera. Para n>=1 de define



  • Presentando sus primeros términos. Dar ejemplos.

1, 2, 3, 4, …

A_n = n


B_n = de tarea

Buscar el término general de las siguientes sucesiones:













  1. ¿Los primeros términos de una sucesión determinan su formula general? NO!!!!

  2. Sucesiones y Excel.

Ejemplo: Número de saludos entre amigos en una fiesta.

Número de amigos

Número de saludos

1

0

2

1

3

3

4

6

5

10

A1=0

An=An-1+n-1



An= (1/2)(n2-n)=n(n-1)/2



  1. Una actividad



1 2 3 4 5 …

Completar la siguiente tabla



Figura

Número de lados

Longitud de cada lado

Perímetro

Área

1

40*3

1/30

40/3-1

A=(1/2) √3

2

41*3

1/3

41/30

(2/3) √3

3

42*3

1/32

42/31


















n

4n-1*3

1/3n-1

4n-1/3n-2=

3*(4/3)n-1



(n/(n+1))√3

¿Qué sucede cuando n crece sin límite?




Actividades


  1. Cada cuadrado del patrón siguiente tiene una longitud lateral de 1 unidad.
    Imagina que el patrón continúe. Encuentra el perímetro de la Figura 9. ¿Qué
    figura tiene un perímetro de 76 unidades? Escribe una definición recursiva para
    encontrar el perímetro de cualquier figura del patrón.





  1. Dado el siguiente esquema:




Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4
a) En la quinta posición, ¿cuántos ladrillos hay? ¿Y en la décima posición?
¿Y en la decimoquinta posición? ¿Y en la trigésimo quinta posición?
b) Si tengo trece ladrillos, ¿en qué posición estoy? ¿Y si tengo veintiún ladrillos?
c) ¿Qué relación hay entre las cantidades de ladrillos?
d) ¿Qué le pasa a la cantidad de ladrillos a medida que avanzo en las posiciones?

  1. a) ¿Cuál es el área de cada cuadrado sabiendo que cada lado es la mitad del anterior?

b) ¿Cuál es el área del cuarto cuadrado? (1/4)3=1/64

¿Y la del vigésimo cuadrado? (1/4)19

¿Y la del n-ésimo cuadrado? (1/4)n-1


c) Si tengo un área igual a 1/1024 cm2, ¿a qué cuadrado corresponde?

Sexto cuadrado

d) ¿Qué le pasa al área del cuadrado a medida que formamos los cuadrados?

Se reduce.

e) ¿Qué relación hay entre las áreas de los cuadrados obtenidos?



El área de un cuadrado es igual a la cuarta parte del área del cuadrado precedente.
f) Graficar la sucesión obtenida.


g) Calcular, de ser posible, la suma de las áreas de TODOS los rectángulos anteriores.


1 + ¼ + ¼2 + ¼3 + … =

1, ¼, ¼2 , ¼3,

g) Repetir las actividades precedentes para el caso de los perímetros.



  1. Considerar un cuadrado de lado 1 : . Realizar los siguientes pasos:

Paso 1: Dividirlo en dos partes iguales de la siguiente manera:


Paso 2: Tomar una de las mitades obtenidas y dividirla, de la misma manera, en dos partes iguales. La figura quedaría así:

Paso 3: Repetir, varias veces, la misma operación.


Encontrar las suma de las áreas de todos los rectángulos en los cuales ha quedado dividido, siguiendo el procedimiento anterior, el cuadrado original.


  1. Sobre un segmento L de longitud 1 se realiza la siguiente secuencia de operaciones:


Paso 1: Dividimos el segmento L en 3 partes iguales y se quita su tercio del medio. Nos quedan así 2 intervalos más pequeños: L11 y L12.

Paso 2: Ahora, a cada uno de los intervalos que quedan, L11 y L12, se les realiza la misma operación, es decir, cada uno de ellos se divide en 3 partes iguales y se les quita el tercio del medio. Nos quedan así 4 intervalos más pequeños.

Y así sucesivamente.
La siguiente figura ilustra los 4 primeros pasos de la secuencia recién señalada.

Calcular las suma de las longitudes de TODOS los segmentos que se quitan del segmento L.


  1. Considerar las siguientes figuras:









Figura 1

Figura 2

Figura 3

  1. Siguiendo la ley de formación, se pueden formar las figuras F4, F5, F6 etc. Completar las siguiente tabla (considerar como unidad de longitud el lado de cada triángulo):




Figura

Número de triángulos congruentes a F1

Número de Palitos

Perímetro

Area

F1













F2













F3













F4



























Fn
















  1. Para este taller se han adquirido 50 cajas de fósforos con 40 palitos cada una. Si tiene a su disposición la totalidad de los palitos, y debe formar con ellos la figura Fm ocupando la mayor cantidad de palitos, ¿qué cantidad de palitos ocuparía?, y ¿cuántos triángulos congruentes a F1 tendría la figura?




  1. Considerar la siguiente secuencia de figuras:



C1




C2




C3




C4








Siguiendo la ley de formación, se pueden formar las figuras C5, C6, C7, etc.


  1. ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura C1000?

  2. ¿Cuántos palitos tendrá la figura C2000?

  3. ¿Cuál será el área* de la figura C3000?

  4. ¿Cuál será el perímetro* de la figura C4000?

  5. Se cuenta con 1000 palitos para formar las figuras C1, C2, C3, etc. ¿Cuántos palitos tiene la última figura que se puede formar?




  1. TV Central cerrará sus puertas al público en 8 semanas. Cada semana hasta que
     cierre, la compañía planea reducir los precios de la semana anterior en un 15%.
     Un televisor de pantalla plana actualmente tiene un precio de $899000. Escribir una
     fórmula recursiva para encontrar el precio del televisor después de 8 semanas,
     si no se ha vendido.




  1. ¿De cuántas formas distintas se puede subir una escalera si desde cada
    posición pueden subirse uno o dos escalones?




  1. Encontrar el número de caminos (sin dar pasos superfluos) mediante los que se puede cruzar en diagonal un conjunto de calles dispuestas en una estructura cuadrada, como en la figura





Temas para tareas:


  1. Números figurados I: Números cuadrados. Números triangulares.

Manuel Rodríguez


  1. Números figurados II: Números pentagonales. Números hexagonales. Números heptagonales

Elizabeth Grossman


  1. Sucesión de Fibonacci (no dejar de incluir el número de oro)  =(1+√5)/2

Rodrigo Daigre


  1. Sucesiones aritméticas. Definición. Propiedades. Ejemplos “interesantes”.

Paul Nuñez


  1. Sucesiones geométricas. Propiedades. Ejemplos “interesantes”.

Claudia Véliz


  1. Pablo Díaz





Completar la siguiente tabla



Figura

Número de triángulos sacados (blancos)

Longitud de cada lado

Perímetro

Área

1













2













3



























n













¿Qué sucede cuando n crece sin límite?





  • a) Modificar un triángulo equilátero utilizando la siguiente regla de iteración: trazar

los segmentos que unen los puntos medios de los lados; borrar o sacar el triángulo

del medio del triángulo original de modo que:



Los lados de los triángulos resultantes miden la mitad de la longitud de los lados del triángulo original
Permanecen tres triángulos congruentes entre sí.





  • Analizar las variaciones de área y perímetro, en la sucesión de triángulos que se obtiene, si el lado del triángulo inicial mide 10cm.




  • Analizar las variaciones de área y perímetro, en la sucesión de triángulos que se obtiene, si el lado del cuadrado inicial mide a cm.




  • Determinar P(n) y A(n) si representan el perímetro y el área de la n-ésima iteración, respectivamente.

b) Modificar un trazo de longitud 1 utilizando la siguiente regla de iteración: dividir el segmento en tres trazos de igual medida; reemplaza el del medio por dos segmentos de esa misma medida cuyos extremos libres coinciden, como lo indica el dibujo que sigue.



Realizar este proceso de iteración tres veces a partir de un segmento dado. Si el trazo original mide 1, ¿cuánto mide la longitud de la figura en la segunda iteración? ¿Cuánto en la tercera? ¿Cuánto en la décima? ¿Cuánto en la n-ésima?.



* Considerar como unidad de longitud el largo de un Palito.


CdP/JCS


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