Naturales: n = {1, 2, 3, }



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CONJUNTOS NUMÉRICOS

Act. J. Javier Segura R.


NATURALES: N = {1, 2, 3, ... , 50, ... , 800, ... }
Son los números enteros positivos.
ENTEROS: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Son los números enteros positivos y negativos, incluyendo el cero.
RACIONALES: Q = { , con a y b números enteros, b≠ 0 }
Q = {..., -600, -3/4, -1.03, 0, 5/8, , ...}
Se pueden representar en forma de razón entre dos enteros. Son los números enteros, fracciones, decimales finitos, decimales infinitos periódicos.
IRRACIONALES: I = {..., , e, л, ... }
No se pueden representar en forma de razón entre dos enteros. Son los números decimales infinitos no periódicos.
REALES: R =
Es la unión de los números racionales con los irracionales.
COMPLEJOS: C = { a + bi , con a, b números reales, = -1}
C = {..., -30, 0, 3.2, 5+2i, -3+10i, , 8i, ...}

Son los números reales y los que se pueden representar como la suma de

una parte real(a) más una parte imaginaria (bi).

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS.


NÚMEROS NATURALES.

Cerradura de la suma y la multiplicación: si sumamos o multiplicamos dos números naturales, el resultado es un número natural.

5 + 13 = 18. , para

12 * 6 = 72. , para


La suma y la multiplicación son conmutativas: si intercambiamos el orden de los sumandos, el resultado es el mismo; si intercambiamos el orden de los factores, el resultado es el mismo.

7 + 14 = 14 + 7 = 21. a + b = b + a , para

15 * 4 = 4 * 15 = 60. a * b = b * a , para
La suma y la multiplicación son asociativas: podemos sumar varios números agrupándolos de diversas maneras y el resultado es el mismo; podemos multiplicar varios números agrupándolos de diversas maneras y el resultado es el mismo.

12 + 4 + 9 = (12 + 4 ) + 9 = 16 + 9 = 25. a + b + c = ( a + b ) + c

6 * 4 * 2 = 6* ( 4 * 2 ) = 6 * 8 = 48. a * b * c = a * ( b * c )

para


Elemento Idéntico para la multiplicación: existe el número 1 tal que cualquier número natural multiplicado por 1 es igual al mismo número natural.

3 * 1 = 3 a * 1 = a

1 * 307 = 307 para
Propiedad Distributiva: un producto se distribuye sobre la suma.

5 ( 8 + 12 ) = (5 * 8) + (5 * 12) a (b + c ) = ab + ac

(3 + 15) 6 = (3 * 6) + (15 * 6) (a + b) c = ac + bc

para


Observaciones:

La resta ni la división son cerradas en los naturales: 5 – 8 = – 3 , el resultado no es un número natural. 5 / 2 = 2 . 5 , el resultado no es un número natural.

Se cumple la Ley de Tricotomía: si a y b son números naturales, entonces se cumple una y sólo una de las relaciones siguientes: a < b, a = b, a > b.

Se cumple la Ley Transitiva: si a < b y b < c , entonces a < c .

NÚMEROS ENTEROS.

Todas las propiedades de los números naturales son válidas para los números enteros. Se adicionan las siguientes:


Elemento Idéntico Aditivo: existe el número 0 tal que cualquier número entero sumado con 0 da como resultado el mismo número entero.

14 + 0 = 14 a + 0 = a

0 – 28 = – 28 para
Elemento Inverso Aditivo: para todo número entero a, existe un número – a, tal que sumados dan como resultado el número 0. Todo número entero más su simétrico es 0.

89 + (– 89) = 0 a + (– a ) = 0

– 30 + [ – ( – 30) ] = 0 para
La Resta se define: a – b = a + ( – b ) , la suma de un número más el inverso aditivo de otro. Por eso: – 7 – 7 = – 7 + ( – 7) = – 14 . La suma de dos negativos es negativa.
Multiplicación por cero: todo número entero multiplicado por cero da como resultado cero.

42 * 0 = 0 a * 0 = 0

0 * (– 16 ) = 0 para
División entre cero: la división entre cero no está permitida, porque no hay solución o está indeterminada.

Sabemos que 21 / 3 = 7 porque 3 * 7 = 21. Pero si 21 / 0 = r , se tendría 0 * r = 21, lo cual no se cumple porque 0 * r = 0.

Para el caso 0 / 0 = r , se tendría 0 * r = 0 , y el resultado no sería único.
Orden: a > b si y sólo si a – b > 0 , para

– 4 > – 13 porque – 4 – ( – 13 ) = – 4 + 13 = 9 > 0.


Observaciones:

Ya se puede hacer la operación 8 – 12 = – 4 , que es un número entero (no se podía hacer en los naturales, por no resultar un número natural).

En los naturales no hay inversos aditivos porque no hay números negativos.

Ley Aditiva de la desigualdad: Si a < b y , entonces a + c < b + c.

Ley de Producto de la desigualdad: Si a < b y 0 < c , entonces ac < bc.

Si a < b y c < 0 , entonces ac > bc.

La división no es cerrada en los enteros: – 18 / 4 = – 4. 5 , que no es entero.

NÚMEROS RACIONALES.

Todas las propiedades de los números enteros son válidas para los racionales. Se adiciona la siguiente:
Elemento Inverso Multiplicativo: para todo número racional , existe un número

tal que a * = 1. Todo número racional por su recíproco es igual a 1.

6 * = 1


– 12 * = 1
La División se define: , b ≠ 0 . El producto de un número por el recíproco del otro.


Operaciones:

Suma:

Resta:

Multiplicación:

División:
Observaciones:

Los números naturales y los enteros son racionales, porque se pueden representar como una razón: , , .


También los decimales finitos: ,
Y los decimales infinitos periódicos: , .
Hay números como , е , л , que no se pueden representar en forma de razón entre dos enteros, por lo que son números irracionales.

3π / 2 no es racional , porque la definición señala que numerador y denominador deben ser enteros, y 3π no es entero.

NÚMEROS IRRACIONALES.

Son válidas algunas propiedades: la suma y la resta son cerradas. La suma y la multiplicación son conmutativas. No existe el 0 ni el 1 (son racionales). Las propiedades de las desigualdades son válidas.


= 1. 4142135... л = 3. 1415926... е = 2. 7182818...

-23. 01001000100001...


El producto no es cerrado: y son irracionales, pero () = 2, que es entero (racional).
La división no es cerrada: / = 1, que es entero (racional).

NÚMEROS REALES



Al unirse el conjunto de los números racionales con los números irracionales, son válidas las propiedades de ambos conjuntos, considerados como números reales.
() = 2 , el producto de dos números reales es un número real.
, el cociente de dos números reales es un número real.
No se permite la división entre cero. Raíces pares de números negativos no tienen solución en los números reales.

La solución no es 4 ni – 4 , La solución no es 3 ni – 3 ,

porque: porque:

4 (4) = 16 3 (3) (3) (3) = 81

-4 (-4) = 16 -3 (-3) (-3) (-3) = 81
Potencias pares de números negativos regresan números positivos. De ahí que no haya solución para ecuaciones del tipo: x2 + 1 = 0. Cualquier número real elevado al cuadrado es positivo o cero, y sumado con 1 nunca dará cero.
Para tener solución a estas operaciones y ecuaciones, se crearon los números complejos.
NÚMEROS COMPLEJOS

Son válidas las propiedades de los números reales. Se adiciona la siguiente: i2 = – 1.



La división entre cero sigue sin estar definida. Al ser de la forma a + bi , con a,b números reales , todos los números reales son números complejos, porque se pueden representar así:
6 = 6 + 0i – 15 = – 15 + 0i – 3.25 = – 3.25 + 0i
Hay solución para las operaciones que no se podían hacer en los reales:
= ± 3i x2 + 81 = 0

porque x2 = – 81 no hay solución en los reales.

(3i) (3i) = 9i2 = 9( – 1 ) = – 9 x =

(-3i) (-3i) = 9i2 = 9( – 1 ) = – 9 x = ± 9i sí hay solución en los complejos.

Porque (9i)2 + 81 = – 81 + 81 = 0.

(-9i)2 + 81 = – 81 + 81 = 0.

EJERCICIOS

A. Determina el conjunto numérico al que pertenece cada conjunto siguiente. Observa el ejemplo:


1. A = { 500, -21.03, , -18 }

500 es entero positivo, -21.03 es decimal finito, es fracción común, -18 es entero negativo. El conjunto numérico que incluye a estos números, es Q (Racionales).


Nota: En la teoría de Conjuntos, se dice que “el conjunto A es subconjunto de Q” y se escribe: , porque cada elemento de A pertenece también a Q.
2. B = { , , 31.04, -407 }

3. C = { 1, 4, 9, 16, 25, 36 }



4. D = { , , , }
B. Identifica la propiedad que está ejemplificada en cada inciso siguiente. Todas las letras representan números reales. Observa el ejemplo:
1. 4y + 2x = 2x + 4y Propiedad Conmutativa, porque

a + b = b + a

2. 3x – 4z + 4z = 3x + 0

3. 5x – 2x + 7z = (5x – 2x) + 7z



4. -3z ( 8 – 4z ) = -3z (8) – 3z (- 4z)

5. 9 ( ) + x = 1 + x


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