Curvas y Superficies para modelado geométrico



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Curvas y Superficies para modelado geométrico

Para representar curvas y superficies en CAGD (Computer Aided Geometric Design) se utilizan generalmente las representaciones implícita y paramétrica, pero fundamentalmente esta última.

La representación implícita F(x,y)=0 es muy útil para curvas y superficies estándar (plano, cuádrica, toroide, etc.) y que son fácilmente desplazables por medio de un cambio en el término independiente. Por ejemplo:

Circunferencia: (x-xc)2 + (y-yc)2 = r2. Cambiando r la circunferencia se “infla” o “desinfla”.

Plano: ax + by + cz = d. Cambiando d, el plano se desplaza conservando la normal.

Para curvas y superficies “libres” (free-form surfaces) se suele utilizar la representación paramétrica, donde las coordenadas están representadas mediante funciones de uno o dos parámetros:

Curva: P(u) ={x(u), y(u), z(u) }

Superficie: P(u,v)={x(u,v), y(u,v), z(u,v)}

En general se restringe el conjunto de funciones mediante una base de funciones que suele ser de potencias o trigonométrica. Pero en CG, la más utilizada es la primera y de un modo que facilita el procesamiento en la computadora.

Una curva en serie (finita) de potencias se define mediante un conjunto (finito) de parámetros vectoriales ai:

P(u) =  aiui (aquí el superíndice del parámetro indicará siempre potenciación)

Pero para el usuario no resulta sencillo definir el conjunto de parámetros que hace que la curva tenga la forma deseada. Lo que suele hacerse es imponer un conjunto de puntos que definen la curva (ya sea por interpolación o por aproximación) y requerir algún grado de suavidad de la curva, es decir que las derivadas varíen de algún modo predeterminado.

Para el diseño asistido de curvas y superficies se han desarrollado muchos métodos que logran los objetivos de simplicidad y eficiencia computacional. Por razones históricas y de conveniencia han sobrevivido unos pocos y aquí estudiaremos con mayor profundidad los más utilizados: las curvas y superficies de Bézier y NURBS.




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