Tema 2: descripción conjunta de varias variables introducción distribuciones de frecuencias bivariantes



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4.2 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
Dados los puntos (x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn), supongamos que hemos elegido una función y=f(x|a1,...,ar) que queremos ajustar a ese conjunto de puntos y en la que intervienen r parámetros (a1,...,ar). Consideramos la nube de puntos correspondiente:

Para cada valor de X, (xi ) tenemos dos valores de Y:



  • El valor observado en la muestra (o en la nube de puntos ) yi.

  • Otro que denominamos teórico, yi*, que se obtendría al sustituir x=xi en la función.

Como se puede observar, para cada xi tenemos una diferencia entre los dos valores de Y, que llamaremos residuo: ei = yi - yi*.

El método de los mínimos cuadrados consiste en determinar los parámetros (a1,...,ar) de tal forma que los residuos sean mínimos. Es decir, buscaremos minimizar la expresión:



es decir, minimizamos la suma de las distancias verticales de los puntos a la curva.

La condición necesaria para obtener el mínimo es que las primeras derivadas parciales respecto a cada uno de los parámetros se anulen, es decir,



resolviendo este sistema, denominado sistema de ecuaciones normales, quedan determinados (a1,...,ar), así como la correspondiente función.



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