Experiencia de torricelli



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Tabla n°1-a: Cálculo de caudal medición 1


Caudal 2

Vol []]

t [s]

Caudal

Aforado 1

0,00063

5,89

0,000107

Aforado 2

0,00074

6,88

0,000108

Aforado 3

0,00062

5,58

0,000111









0,000109

Tabla n°1-b: Cálculo de caudal medición 2


Caudal 3

Vol [

t [s]

Caudal [

Aforado 1

0,00034

2,7

0,000126

Aforado 2

0,00026

2,16

0,000120

Aforado 3

0,00025

1,93

0,000130









0,000125

Tabla n°1-c: Cálculo de caudal medición 3
Luego, considerando que el orificio de salida posee un diámetro de , el área transversal del flujo corresponde a:


Finalmente, las velocidades se obtiene a partir de los caudales netos obtenidos y del área del tubo de salida, resultados que se presentan a continuación en la tabla n°2.




Caudal [

Área

Velocidad []

Medida 1

0,000115



2,288

Medida 2

0,000109



2,169

Medida 3

0,000125



2,487


Tabla n° 2: Cálculo de velocidades
Cálculo de pérdidas singulares
Las pérdidas singulares se estiman a partir de la relación (1), en donde el Bernoulli número 1 (, está dado por la altura máxima que se tiene dentro del estanque, y el Bernoulli número 2 ( está dado por la altura del orificio de salida, el cual fue considerado como el nivel cero de referencia. Entonces, las pérdidas singulares asociadas para cada medición están dadas por los resultados mostrados en la tabla n°3:








0,313

0

0,313

0,278

0

0,278

0,368

0

0,368

Tabla n°3: Pérdidas singulares para cada medición
Cálculo de coeficientes
Conocida las pérdidas singulares y la velocidad, los coeficiente se determinan a partir de la relación (2). Estos resultados se presentan en la tabla n°4:





Medida 1

Medida 2

Medida 3









Tabla n°4: Coeficientes de pérdida singular

Gráfico de chorro experimental

A continuación se presentan los gráficos de chorro experimental, los cuales, presentan una forma parabólica como era de esperarse. En el caso de existir algún tipo de de complicación, esta pudo haberse debido al contacto de los fierros que ayudaron a registrar la trayectoria, los cuales, en cierto modo, pueden haber desviado estas, alterando en parte los resultados. Sin embargo, no se presencia grandes efectos sobre los resultados obtenidos como se ilustra a continuación en los gráficos n°1,2 y 3.





Gráfico n° 1: Trayectoria del caudal 1



Gráfico n° 2: Trayectoria del caudal 2



Gráfico n° 3: Trayectoria del caudal 3

Gráfico de curva de vaciamiento

La curva de vaciamiento se calculó a partir de una regresión exponencial con los datos consignados durante la experiencia número 2. Este resultado se presenta en el gráfico n°4





Gráfico n° 4: Curva de vaciamiento


Comparación forma del chorro teórico-experimental

Para determinar la forma que tiene el chorro al salir, se asume un flujo permanente de forma tal que los Bernoulli se mantienen constante, es decir:



Por lo tanto:

Considerando que no existen procesos termodinámicos asociados, es válido utilizar presiones relativas a la atmosférica de forma tal que . Además, si se toma el orificio de salida del chorro de agua como el origen del sistema, se obtiene que . Por otra parte, la velocidad puede ser expresada en forma vectorial tal que,



Donde la componente en x corresponde a la velocidad de salida, , la cual es constante para un movimiento parabólico, mientras que la componente en y es una fución del tiempo. De esta forma, se tiene que la norma de está dada por:

Reemplazando (XX) en (X) y considerando todos los supuestos anteriores se obtiene:


Lo cual, por simplicidad notamos como:

Ahora bien, si consideramos las variaciones de la posición en el tiempo se llega a los siguientes resultados:

Lo cual resulta un sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales nulas, pues, en el instante inicial (), el chorro se encuentra en el origen, o sea, y . Si resolvemos este sistema se obtiene que:


Despejando el tiempo como función de la posición horizontal de (XXXX), y reemplazándola en (XXX), se obtiene la ecuación del posición del chorro, dada por:

Para este caso en particular, se realizará una comparación teórica para las medidas realizadas para el caudal número 1, el cual, posee una velocidad de salida . Entonces, la curva que describe la forma del chorro está dada por la ecuación:



De esta forma, si se revisan las dos gráficas en el mismo plano se obtiene:



Gráfico n°5. Comparación de la forma del chorro teórico con el experimental
Donde la diferencia entre curvas se debe a que la obtenida teóricamente abarca una mayor cantidad de puntos, pues, para ser graficada como una función se debió realizar un arreglo de puntos de forma tal que fuese coincidente con la cantidad de datos recolectados experimentalmente, los cuales, no son una muestra continua de datos, si no discreta.

Comparación del vaciamiento teórico-experimental



Cálculos teóricos
Primero debemos sacar la velocidad de vaciamiento del estanque considerando pérdida singular de energía:





Sabemos que la pérdida singular de energía es igual a la diferencia de Bernoullis, con esto:






Para ver teóricamente el vaciamiento del estanque ocuparemos la ecuación de continuidad:


Aparte, sabemos que , y , con esto tenemos:


Sabemos que la velocidad de salida por la tobera es , de aquí nuestra ecuación queda como:

Integrando ésta última, para despejar la altura en función del tiempo nos queda (el límite superior de la integral representa la función en sí de la integral):




Para solucionar la ecuación anterior se necesitan los siguientes datos (El coeficiente de pérdida singular se saco como el promedio entre los tres coeficientes calculados):











Con esto, nuestra altura de vaciamiento queda como:

Gráfico de comparación
La curva de comparación queda de la siguiente manera:


Gráfico n°6. Gráfico de comparación entre el vaciamiento teórico y experimental
Calibración de un nuevo coeficiente de pérdida singular de la tobera
El nuevo coeficiente de pérdida singular es, de acuerdo a la forma teórica, nos queda:



Con esto, el coeficiente de pérdida singular calibrado teóricamente es:



ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES


Después de realizar las experiencias del laboratorio práctico, es posible dejar en claro una serie de puntos.
El chorro de agua que sale desde el estanque, está sujeta a pérdidas singulares de energía en la tobera, las cuales pueden ser cuantificadas a través del coeficiente . El coeficiente anterior, se obtiene de manera experimental, y es posible notar una dependencia cuadrática con la velocidad.

Ahora bien, es posible incurrir en errores en la determinación de este coeficiente durante el laboratorio, pues al hacer mediciones de caudales en cada aforamiento, se introducen errores en las mediciones de tiempos y de volúmenes.


Al calcular la trayectoria del chorro de agua (gráfico n°5), es posible dar cuenta de un movimiento aproximadamente parabólico. Las diferencias entre la trayectoria real y la trayectoria teórica, se explican por varios puntos.

Un primer punto a tomar en cuenta es el roce con el aire, al cual no está sometido dentro de la tobera, y tampoco fue incluido en el análisis dinámico del chorro. Además, es posible considerar el efecto de la pérdida energética dentro de la tobera, la cual claramente dependerá también de la geometría propia de ésta.

Otro factor importante para explicar las diferencias obtenidas, es la dificultad de medir de manera precisa las posiciones del chorro a través de las varillas, pues el chorro de agua pierde uniformidad en ciertos instantes y sectores de la trayectoria

Un último, pero no menos importante hecho a considerar, es la manera en que fue determinada la velocidad de salida desde la tobera. Para este efecto se utiliza la diferencia de Bernouilli, lo que puede introducir errores numéricos en su cálculo.


Con respecto al vaciamiento del estanque, también se observan diferencias entre los datos empíricos y el modelo teórico (gráfico n°6). La principal razón de esto, es la dificultad de llevar registros precisos de las alturas de la superficie libre en cada intervalo de tiempo. En particular se tiene esta dificultad en la primera mitad del vaciado, pues entre mayor es la altura de la superficie libre, más grande es la velocidad de salida por la tobera, y por lo tanto mayor el caudal evacuado.

Aquí es posible concluir de inmediato la dependencia directa de la velocidad de salida por la tobera con la altura de la superficie libre, explicado porque a mayor altura de agua en el estanque, mayor es la presión en la tobera.



Producto de todos los factores que no son considerados en el análisis explicado anteriormente, es necesario calibrar la constante de modo que haya una mucho mejor ajuste de los resultados obtenidos de manera tanto experimental como teórico.
Es importante notar, que realizar una “calibración” de los coeficientes utilizados, es mucho más eficiente que considerar todos los factores en el análisis teórico, puesto que esto haría los cálculos demasiado engorrosos y difíciles de interpretar.


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