Ejercicios sobre elaboración de diagramas de dispersión y cálculo de índices de covarianza y correlación



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Ejercicios sobre elaboración de diagramas de dispersión y cálculo de índices de covarianza y correlación

Objetivos de aprendizaje: con los problemas de este documento pretendemos que

1. aprendáis a elaborar diagramas de dispersión con objeto de evaluar, por inspección visual, el patrón de covariación que caracteriza a las variables representadas así como la posible incidencia que sobre dicho patrón puedan ejercer determinados valores de la muestra.

2. apliquéis diferentes expresiones para calcular los índices de asociación lineal más frecuentes: covarianza y correlación de Pearson.
Ej. 1. La tabla siguiente recoge las puntuaciones de 11 sujetos (N=11) en dos variables X e Y.


X

Y

10

8,04

8

6,95

13

7,58

9

8,81

11

8,33

14

9,963

6

7,24

4

4,26

12

10,84

7

4,82

5

5,68

a.- Construir el diagrama de dispersión de Y en función de X. En base al diagrama construido,

a.1. ¿Cómo están relacionada X e Y?

a.2. ¿Qué signo tienen la covarianza y la correlación?.



b.- Calcular la covarianza utilizando la expresión:

c.- Calcular el coeficiente de correlación de Pearson utilizando la expresión





Sol.

  1. Para construir el diagrama de dispersión, en un sistema de referencia rectangular, dibujamos los puntos correspondientes a las puntuaciones de los sujetos en las variables X e Y. En el eje de abscisas hemos representado a la variable X y en el eje de ordenadas a la variable Y. El gráfico resultante es:


a.1. De la forma de la nube de puntos podemos decir que la relación es lineal directa o positiva.



a.2. Tanto la covarianza como la correlación tienen que ser positivas.
b.- Calcular la covarianza utilizando la expresión:




Para obtener Sxy vamos a calcular la media de la variable X e Y y ampliamos la tabla de datos con tres nuevas columnas: la columna de puntuaciones diferenciales en la variable X , la columna de puntuaciones diferenciales en la variable Y y la columna de productos cruzados . La tabla siguiente es el resultado de las operaciones anteriores:





X

Y































10

8,04

1

0,54

0,54




8

6,95

-1

-0,55

0,55




13

7,58

4

0,08

0,32




9

8,81

0

1,31

0,00




11

8,33

2

0,83

1,66




14

9,96

5

2,46

12,30




6

7,24

-3

-0,26

0,78




4

4,26

-5

-3,24

16,20




12

10,84

3

3,34

10,02




7

4,82

-2

-2,68

5,36




5

5,68

-4

-1,82

7,28

Sumatorios

99

82,51

0

0,00

55,01

Medias

9

7,500909

0

0,00

 




 




 

 

 

 

 

A partir de los datos de la tabla ampliada obtenemos el valor de la covarianza:


c.- Para calcular el coeficiente de correlación de Pearson utilizando la expresión



Añadimos a la tabla anterior las columnas correspondientes a los cuadrados de las puntuaciones diferenciales obteniendo:































X

Y






















10

8,04

1

0,54

0,54

1

0,29




8

6,95

-1

-0,55

0,55

1

0,30




13

7,58

4

0,08

0,32

16

0,01




9

8,81

0

1,31

0,00

0

1,71




11

8,33

2

0,83

1,66

4

0,69




14

9,96

5

2,46

12,30

25

6,05




6

7,24

-3

-0,26

0,78

9

0,07




4

4,26

-5

-3,24

16,20

25

10,50




12

10,84

3

3,34

10,02

9

11,15




7

4,82

-2

-2,68

5,36

4

7,19




5

5,68

-4

-1,82

7,28

16

3,32

Sumas

99

82,51

0

0,00

55,01

110

41,27

Medias

9

7,50090909

0

0,00









La correlación entonces es:






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