Analisis de regresióN


Residuos estandarizados y estudentizados



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Residuos estandarizados y estudentizados


Los residuos se estandarizan como sigue:
i = 1, 2, .........., n (3.54)

Para los residuos estudentizados, utilizamos el vector de residuos:


e = (I – H ) Y (3.55)
donde
H = X (X’X)-1X’ es la matriz sombrero o “hat matriz”.
Esta matriz tiene las propiedades siguientes:

  1. Es simétrica, es decir H’ = H.

  2. Es idempotente, es decir H H = H.

  3. En forma similar la matriz I – H es simétrica e idempotente.

Por tanto se tiene:



e = (I – H)  (3.55)
De esta forma los residuos tienen la misma transformación lineal para las observaciones Y y para los errores .
La varianza de los residuos es:
(3.56)
Como la matriz I – H no es diagonal, los residuos tienen diferentes varianzas y están correlacionados. La varianza del residuo i-ésimo es:
(3.57)
Donde hii es el elemento diagonal i-ésimo de H.
Tomando esta desigualdad de varianza en cuenta, varios autores recomiendan para escalamiento de los residuos, graficar los residuos “estudentizados” siguientes en lugar de ei (o di):
i = 1, 2, .........., n (3.58)
Los residuos estudentizados tienen varianza constante = 1, independientemente de la localización de Xi, cuando la forma del modelo es correcto. A pesar de que los residuos estandarizados y los estudentizados proporcionan casi la misma información, como cualquier punto con residuo y hii grande tiene una influencia potencial en el ajuste de mínimos cuadrados, se recomienda el análisis de los residuos estudentizados.
La covarianza entre ei y ej es:
(3.59)
De tal forma que otra forma de escalamiento de residuos es transformar los residuos n dependientes en n-p funciones ortogonales de los errores .



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